x+y+z=1则(x^2)+(y^2)+(z^2)>=???

x+y+z=1两边完全平方得：
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=1.又
2xy≤x^2+y^2;
2yz≤y^2+z^2;
2zx≤z^2+x^2;
∴2xy+2yz+2zx≤2（x^2+y^2+z^2）
∴(x^2)+(y^2)+(z^2)≥1/3.

1/3

解：x^2 + y^2 >= 2xy,
x^2 + z^2 >= 2xz,
y^2 + z^2 >= 2yz.
故：2(x^2 + y^2 + z^2 >= 2xy + 2xz +2yz.
即：x^2 + y^2 + z^2 >= xy + xz +yz.
当且仅当x =y =z时成立。
又x +y +z=1， 故：x =y =z = 1/3.
此时：xy + xz +yz = 1/3.
即：(x^2)+(y^2)+(z^2)>= 1/3.

1/3

x+y+z=1
(x+y+z)^2=1
x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1
2xy+2xz+2yz=1-(x^2+y^2+z^2)
(x^2)+(y^2)>=2xy ①
(y^2)+(z^2)>=2yz ②
(x^2)+(z^2)>=2xz ③
①+②+③
2[(x^2)+(y^2)+(z^2)]>=2(xy+xz+yz)=1-(x^2+y^2+z^2)
3[(x^2)+(y^2)+(z^2)]>=1
(x^2)+(y^2)+(z^2)>=1/3